3.195 \(\int \frac{\tanh ^4(x)}{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=90 \[ -\frac{(a+3 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )}{2 b^{3/2}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )}{\sqrt{a}}+\frac{\tanh (x) \sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}{2 b} \]

[Out]

-((a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]])/(2*b^(3/2)) + ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[
a + b - b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[a] + (Tanh[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.228319, antiderivative size = 90, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 8, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.471, Rules used = {4141, 1975, 479, 523, 217, 203, 377, 206} \[ -\frac{(a+3 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )}{2 b^{3/2}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )}{\sqrt{a}}+\frac{\tanh (x) \sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}{2 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[x]^4/Sqrt[a + b*Sech[x]^2],x]

[Out]

-((a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]])/(2*b^(3/2)) + ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[
a + b - b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[a] + (Tanh[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/(2*b)

Rule 4141

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[
{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[((d*ff*x)^m*(a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/2))^p)/(1 + ff^
2*x^2), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] && IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[m/2] ||
EqQ[n, 2])

Rule 1975

Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p*ExpandToSum[v, x]^q
, x] /; FreeQ[{e, m, p, q}, x] && BinomialQ[{u, v}, x] && EqQ[BinomialDegree[u, x] - BinomialDegree[v, x], 0]
&&  !BinomialMatchQ[{u, v}, x]

Rule 479

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e^(2*n
- 1)*(e*x)^(m - 2*n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(b*d*(m + n*(p + q) + 1)), x] - Dist[e^(2*n)
/(b*d*(m + n*(p + q) + 1)), Int[(e*x)^(m - 2*n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*Simp[a*c*(m - 2*n + 1) + (a*d*(m +
n*(q - 1) + 1) + b*c*(m + n*(p - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m - n + 1, n] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tanh ^4(x)}{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^4}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b \left (1-x^2\right )}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^4}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac{\tanh (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}{2 b}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a+b+(-a-3 b) x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{2 b}\\ &=\frac{\tanh (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}{2 b}-\frac{(a+3 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{2 b}+\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac{\tanh (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}{2 b}-\frac{(a+3 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+b x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )}{2 b}+\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-a x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )\\ &=-\frac{(a+3 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )}{2 b^{3/2}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )}{\sqrt{a}}+\frac{\tanh (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}{2 b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.494854, size = 169, normalized size = 1.88 \[ \frac{\text{sech}(x) \left (2 \sqrt{2} b^{3/2} \sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{a} \sinh (x)}{\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}}\right )+\sqrt{a} \left (\sqrt{b} \tanh (x) \text{sech}(x) (a \cosh (2 x)+a+2 b)-\sqrt{2} (a+3 b) \sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{b} \sinh (x)}{\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}}\right )\right )\right )}{4 \sqrt{a} b^{3/2} \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tanh[x]^4/Sqrt[a + b*Sech[x]^2],x]

[Out]

(Sech[x]*(2*Sqrt[2]*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sinh[x])/Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]]*Sqrt[a + 2*b + a*Co
sh[2*x]] + Sqrt[a]*(-(Sqrt[2]*(a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]]*Sqrt[a +
2*b + a*Cosh[2*x]]) + Sqrt[b]*(a + 2*b + a*Cosh[2*x])*Sech[x]*Tanh[x])))/(4*Sqrt[a]*b^(3/2)*Sqrt[a + b*Sech[x
]^2])

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.125, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{ \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{4}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ({\rm sech} \left (x\right ) \right ) ^{2}}}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)^4/(a+b*sech(x)^2)^(1/2),x)

[Out]

int(tanh(x)^4/(a+b*sech(x)^2)^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )^{4}}{\sqrt{b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^4/(a+b*sech(x)^2)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(tanh(x)^4/sqrt(b*sech(x)^2 + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.84137, size = 13245, normalized size = 147.17 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^4/(a+b*sech(x)^2)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*((b^2*cosh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + b^2*sinh(x)^4 + 2*b^2*cosh(x)^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*s
inh(x)^2 + b^2 + 4*(b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log((a*b^2*cosh(x)^8 + 8*a*b^2*cosh(x)*sinh(
x)^7 + a*b^2*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^6 + 2*(14*a*b^2*cosh(x)^2 - a*b^2 + b^3)*sinh(x)^6 + 4*(14*a*
b^2*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*a*b^2*cosh(x)^4
+ a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2 - 30*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 - b^3)*
cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*a*b^2*cos
h(x)^6 - 15*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*(a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(
2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh
(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*c
osh(x)^2 - a^2 - 4*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x
))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*a*b^
2*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(
x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^
4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) - ((a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + 3*a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 +
3*a*b)*sinh(x)^4 + 2*(a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 3
*a*b + 4*((a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^3 + (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-b)*log(-((a - b)*cosh(x)^4 + 4*(a -
b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a - b)*sinh(x)^4 + 2*(a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a - b)*cosh(x)^2 + a + 3*b)*sinh(x)^2
- 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*
b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a - b)*cosh(x)^3 + (a + 3*b)*cosh(x))*sinh(x) + a - b)/(
cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cos
h(x))*sinh(x) + 1)) + (b^2*cosh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + b^2*sinh(x)^4 + 2*b^2*cosh(x)^2 + 2*(3*b^2*co
sh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 4*(b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh
(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 +
2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*
sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x
)^2)) + 2*sqrt(2)*(a*b*cosh(x)^2 + 2*a*b*cosh(x)*sinh(x) + a*b*sinh(x)^2 - a*b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^
2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^
2*sinh(x)^4 + 2*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + a*b^2
*cosh(x))*sinh(x)), -1/4*(2*((a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + 3*a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + 3*a*b)*sinh(
x)^4 + 2*(a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 3*a*b + 4*((a
^2 + 3*a*b)*cosh(x)^3 + (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2
))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*si
nh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) - (b^2*cosh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + b^2*s
inh(x)^4 + 2*b^2*cosh(x)^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 4*(b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(
x))*sqrt(a)*log((a*b^2*cosh(x)^8 + 8*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a*b^2*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^6 + 2
*(14*a*b^2*cosh(x)^2 - a*b^2 + b^3)*sinh(x)^6 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (
a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*a*b^2*cosh(x)^4 + a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2 - 30*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^
2)*sinh(x)^4 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)
^3 + a^3 + 2*(a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*a*b^2*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b +
3*(a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh
(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3
- (a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 - 4*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(3*b^2*cos
h(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/
(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*a*b^2*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2
*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*si
nh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) - (b^2*cosh(x)^4
+ 4*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + b^2*sinh(x)^4 + 2*b^2*cosh(x)^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 4*(
b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a +
b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*
sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)
^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 2*sqrt(2)*(a*b*cosh(x)^2 + 2
*a*b*cosh(x)*sinh(x) + a*b*sinh(x)^2 - a*b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*
sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^2*sinh(x)^4 + 2*a*b^2*cosh(x)^2 + a*
b^2 + 2*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + a*b^2*cosh(x))*sinh(x)), -1/4*(2*(b^2*cos
h(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + b^2*sinh(x)^4 + 2*b^2*cosh(x)^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2
+ 4*(b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sin
h(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(
a*b*cosh(x)^4 + 4*a*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b*sinh(x)^4 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*a*b*cosh(x)^2 - a^2 - 3
*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(2*a*b*cosh(x)^3 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + 2*(b^2*cosh(x)^4 + 4*b^2*cosh(
x)*sinh(x)^3 + b^2*sinh(x)^4 + 2*b^2*cosh(x)^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 4*(b^2*cosh(x)^3
+ b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2
- 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a)) + ((a^2 + 3*a*b)*cos
h(x)^4 + 4*(a^2 + 3*a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^4 + 2*(a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a^2 +
3*a*b)*cosh(x)^2 + a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 3*a*b + 4*((a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^3 + (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))
*sinh(x))*sqrt(-b)*log(-((a - b)*cosh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a - b)*sinh(x)^4 + 2*(a + 3*b)*cos
h(x)^2 + 2*(3*(a - b)*cosh(x)^2 + a + 3*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 -
1)*sqrt(-b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a -
b)*cosh(x)^3 + (a + 3*b)*cosh(x))*sinh(x) + a - b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)
^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) - 2*sqrt(2)*(a*b*cosh(x)^2 + 2*a*b*cos
h(x)*sinh(x) + a*b*sinh(x)^2 - a*b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2)))/(a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^2*sinh(x)^4 + 2*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*
(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + a*b^2*cosh(x))*sinh(x)), -1/2*((b^2*cosh(x)^4 + 4
*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + b^2*sinh(x)^4 + 2*b^2*cosh(x)^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 4*(b^2*
cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + a
)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*b*cosh(x
)^4 + 4*a*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b*sinh(x)^4 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*a*b*cosh(x)^2 - a^2 - 3*a*b)*sinh
(x)^2 - a^2 + 2*(2*a*b*cosh(x)^3 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + ((a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + 3*a*
b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^4 + 2*(a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + a^
2 + 3*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 3*a*b + 4*((a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^3 + (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(b)*arct
an(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/
(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*
cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) + (b^2*c
osh(x)^4 + 4*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + b^2*sinh(x)^4 + 2*b^2*cosh(x)^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b
^2 + 4*(b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2
+ a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a)
) - sqrt(2)*(a*b*cosh(x)^2 + 2*a*b*cosh(x)*sinh(x) + a*b*sinh(x)^2 - a*b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a
+ 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^2*sinh
(x)^4 + 2*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + a*b^2*cosh(
x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh ^{4}{\left (x \right )}}{\sqrt{a + b \operatorname{sech}^{2}{\left (x \right )}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)**4/(a+b*sech(x)**2)**(1/2),x)

[Out]

Integral(tanh(x)**4/sqrt(a + b*sech(x)**2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )^{4}}{\sqrt{b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^4/(a+b*sech(x)^2)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(tanh(x)^4/sqrt(b*sech(x)^2 + a), x)